Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2011-2012
______________________________________
Môn thi:Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
______________________________________
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức: A=2x+1x+2x+1+1–2xx–1.1+1x với x>0;x≠1. Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên.
b) Cho biểu thức:
M=x+x+1+x+2x+x+1−x+2x−x+1+x+2−x+x+1+x+2
Với x là số tự nhiên khác 0. Chứng minh M cũng là số tự nhiên.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Tìm x biết: x+24+x−16=10
b) Giải hệ phương trình: x+xy+y=9y+yz+z=4z+zx+x=1
Bài 3. (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(0;1);B(0;4);C(6;4) và D(4;1). Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng AD,BC lần lượt tại M,N sao cho đường thẳng d chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng y=mx−5m3 (với m≠0).
a) Tìm tọa độ của M và N.
b)Tìm toạn độ điểm Q trên d sao cho khoảng cách từ Q đến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách từ Q đến Oy.
Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trung điểm BC. Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy hai điểm D,E sao cho DHEˆ=60o. Lấy M bất kì trên cung nhỏ AB.
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc BACˆ,BDEˆ,DECˆ đồng quy.
b) Cho AB có độ dài 1 đơn vị. Chứng minh: MA+MB<43
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax của góc A. Vẽ đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng BC. Gọi E là giao của Ax và d. Chứng minh E nằm ngoài tam giác ABC.
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
11+x3+y3+11+y3+z3+11+z3+x3≤1
*Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài thi.
———————-HẾT———————-