Trường THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
ĐỀ KIỂM TRA VÒNG LOẠI LỚP 10 CHUYÊN TOÁN LẦN I
TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ
Năm học: 2011-2012
Ngày 18/02/2012
Thời gian làm bài: 120p
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
(x+y−1)x+y−1+6x+2y=20(3x+y−2)3x+y−2+2x+2y=18
Câu 2 (4 điểm)
Tìm tập hợp các số thực a sao cho:
∀x,y,z∈R,x,y,z>0:(x+y+z)(1x+1y+1z)−a(xy+z+yx+z+zx+y)≥3
Câu 3 (4 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M,N,P,Q
lần lượt là điểm chính giữa các cung AB,BC,CD,DA ( Mỗi cung này không
chứa các đỉnh còn lại của tứ giác ABCD) Gia sử rằng AC.BD=MP.NQ.
Chứng minh AC,BD,MP,NQ đồng quy.
Câu 4 ( 4 điểm)
Cho n+1 số nguyên dương a0,a1,….,an sao cho
a0<a1<a2<…<an. Kí hiệu [a,b] là bội chung nhỏ nhất
của a và b.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1[a0,a1]+1[a1,a2]+…+1[an−1,an]≤1−12n
Câu 5(4 điểm)
Cho M là tập hợp bất kì gồm 10 số nguyên dương không vượt quá 100. A
là tập con khác rỗng của M, kí hiệu s(A) là tổng các phần tử thuộc
A.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con X,Y khác rỗng của M và X∩Y=ϕ sao cho s(X)=x(Y)
——————-HẾT————————