SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN – HUẾ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC


ĐỀ KIỂM TRA VÒNG LOẠI LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Năm học 2011-2012



Lần I Ngày thi 18/02/2012


Thời gian làm bài: 120 phút



Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{array}{l}(x+y-1)\sqrt{x+y-1}+6x+2y=20 \\(3x+y-2)\sqrt{3x+y-2}+2x+2y=18 \end{array}\right.$$


Câu 2 (4 điểm)
Tìm tập hợp các số thực $a$ sao cho:
$$\forall x,y,z\in \mathbb{R}, x,y,z>0: (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-a(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\geq 3$$

Câu 3 (4 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AB,BC,CD,DA$ ( Mỗi cung này không chứa các đỉnh còn lại của tứ giác $ABCD$). Giả sử rằng $AC.BD=MP.NQ$. Chứng minh $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy.

Câu 4 ( 4 điểm)
Cho $n+1$ số nguyên dương $a_0,a_1,....,a_n$ sao cho $a_0 < a_1 < ... < a_n$. Kí hiệu $[a,b]$ là bội chung nhỏ nhất của hai số $a,b$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có.

$$\frac{1}{[a_0,a_1]}+\frac{1}{[a_1,a_2]}+...+\frac{1}{[a_n-1,a_n]}\leq 1-\frac{1}{2^n}$$

Câu 5(4 điểm)
Cho $M$ là tập hợp bất kì gồm 10 số nguyên dương không vượt quá 100. $A$ là tập con khác rỗng của M, kí hiệu $s(A)$ là tổng các phần tử thuộc $A$.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con $X,Y$ khác rỗng của M và $X\cap Y= \phi$ sao cho $s(X)=x(Y)$